ラグランジュの未定乗数法

細かいことや細かくないことを飛ばしまくってると思います。すみません。

2変数関数の場合

関数 [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] について、[math]\displaystyle{ g(x,y)=0 }[/math] 上での極値を探したい。

[math]\displaystyle{ g(x,y)=0 }[/math]で動いたときに [math]\displaystyle{ f }[/math] の方向微分が0になることを考える。

[math]\displaystyle{ g(x,y)=0 }[/math] の接線方向は [math]\displaystyle{ \left(\frac{\partial{g}}{\partial{y}} ~,~ -\frac{\partial{g}}{\partial{x}}\right) }[/math] であり、

[math]\displaystyle{ \frac{\partial{f}}{\partial{x}} \frac{\partial{g}}{\partial{y}} - \frac{\partial{f}}{\partial{y}} \frac{\partial{g}}{\partial{x}} = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{\partial{f}}{\partial{x}} - \frac{\frac{\partial{f}}{\partial{y}}}{\frac{\partial{g}}{\partial{y}}} \frac{\partial{g}}{\partial{x}} = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{\frac{\partial{f}}{\partial{y}}}{\frac{\partial{g}}{\partial{y}}} = \lambda }[/math] として、

[math]\displaystyle{ \frac{\partial(f - \lambda g)}{\partial x} = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{\frac{\partial{f}}{\partial{y}}}{\frac{\partial{g}}{\partial{y}}} = \lambda }[/math] としたことから

[math]\displaystyle{ \frac{\partial(f - \lambda g)}{\partial y} = 0 }[/math]

また、[math]\displaystyle{ g(x,y)=0 }[/math] 上のため、 [math]\displaystyle{ \frac{\partial (\lambda g)}{\partial \lambda} = 0 }[/math]