留数定理

ローラン展開の-1次の係数だけで積分を計算できる、すごそうな定理

[math]\displaystyle{ \int_C f(z) dz = 2\pi i \sum \mathrm{Res}(f(z), \alpha) }[/math]

留数の計算

-1次だけ計算できればいいので、 [math]\displaystyle{ g(z) = (z-\alpha)f(z) }[/math] が [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] の周りで正則関数となるなら

[math]\displaystyle{ \mathrm{Res}(f(z),\alpha) = g(\alpha) }[/math]

と計算できる。