クォータニオン - 版の履歴

Ptt: /* 回転 */

2024-07-14T20:20:19Z

回転

← 古い版		2024年7月15日 (月) 05:20時点における版
235行目:		235行目:

	このように、クォータニオンを掛けることを3次元ベクトルの回転に対応させることができた。		このように、クォータニオンを掛けることを3次元ベクトルの回転に対応させることができた。
	~~お疲れ様でした。~~
			お疲れ様なのらね。

	[[カテゴリ:数学]]		[[カテゴリ:数学]]

Ptt: /* 回転 */

2024-07-14T20:19:37Z

回転

← 古い版		2024年7月15日 (月) 05:19時点における版
209行目:		209行目:
	\left(\cos^2{\frac{\theta}{2}} - \sin^2{\frac{\theta}{2}} \right) \boldsymbol{p}		\left(\cos^2{\frac{\theta}{2}} - \sin^2{\frac{\theta}{2}} \right) \boldsymbol{p}
	+ \left( 2 \sin^2{\frac{\theta}{2}} \right) (\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{p}) \boldsymbol{n}		+ \left( 2 \sin^2{\frac{\theta}{2}} \right) (\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{p}) \boldsymbol{n}
	+ \left( 2\sin{\frac{\theta}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}} \right) \boldsymbol{n} \times \boldsymbol{p}		+ \left( 2\sin{\frac{\theta}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}} \right) (\boldsymbol{n} \times \boldsymbol{p})

	\\ &=&		\\ &=&
	\left(\cos\theta \right) \boldsymbol{p}		\left(\cos\theta \right) \boldsymbol{p}
	+ (1-\cos\theta) (\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{p}) \boldsymbol{n}		+ (1-\cos\theta) (\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{p}) \boldsymbol{n}
	+ \left( \sin\theta \right) \boldsymbol{n} \times \boldsymbol{p}		+ \left( \sin\theta \right) (\boldsymbol{n} \times \boldsymbol{p})

			\\ &=&
			(\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{p}) \boldsymbol{n}
			+ (\cos\theta)(\boldsymbol{p} - (\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{p}) \boldsymbol{n})
			+ (\sin\theta) (\boldsymbol{n} \times \boldsymbol{p})
	\end{eqnarray}		\end{eqnarray}
	</math>		</math>


			この結果について、

			* 第1項は<math>\boldsymbol{n}</math>に沿った向きの成分
			* 第2項は<math>\boldsymbol{n}から\boldsymbol{p}</math>に向けて垂直に伸ばした軸方向の成分
			* 第3項はそれら2軸に垂直な軸方向の成分
			と解釈することができる。

			これは <math>\boldsymbol{n}</math> を回転軸として、<math>\boldsymbol{p}</math> を角度 <math>\theta</math> だけ回転させた点に相当する。


			このように、クォータニオンを掛けることを3次元ベクトルの回転に対応させることができた。
			お疲れ様でした。

	[[カテゴリ:数学]]		[[カテゴリ:数学]]

Ptt: /* 回転 */

2024-07-14T19:59:20Z

回転

@@ 141行目: / 141行目: @@
 </math>
-において、ベクトル <math>\boldsymbol{p}</math> の大きさは両辺のスカラー倍の違いだけなので簡単のため<math>||p||=1</math>とする。
+において、ベクトル三重積をもう少し砕くと、
 <math>
@@ 194行目: / 192行目: @@
 は条件を満たす。（角度を <math>\frac{\theta}{2}</math> にしてあるのはあとで都合が良いから）
 [[カテゴリ:数学]]

Ptt: /* 回転 */

2024-07-14T19:13:15Z

回転

@@ 129行目: / 129行目: @@
 == 回転 ==
-そのうち書きたい
+あらためて、
-クォータニオンの積と内積・外積など
+<math>
-z軸まわりの回転
+において、ベクトル <math>\boldsymbol{p}</math> の大きさは両辺のスカラー倍の違いだけなので簡単のため<math>||p||=1</math>とする。
-任意軸周りの回転
+ベクトル三重積をもう少し砕くと、
 [[カテゴリ:数学]]

Ptt: /* 3次元ベクトルによる表現 */

2024-07-14T17:28:36Z

3次元ベクトルによる表現

← 古い版		2024年7月15日 (月) 02:28時点における版
127行目:		127行目:

	こうして三次元ベクトル <math>\boldsymbol{p}</math> を別のベクトルに移す変換が得られた。		こうして三次元ベクトル <math>\boldsymbol{p}</math> を別のベクトルに移す変換が得られた。


	== 回転 ==		== 回転 ==

2024年7月14日 (日) 17:25にPttによる

2024-07-14T17:25:40Z

@@ 6行目: / 6行目: @@
 積について非可換であることに注意する。
 == 3次元ベクトルによる表現 ==
@@ 40行目: / 54行目: @@
 と、結構綺麗に書ける。
 ここでさらに、
@@ 135行目: / 128行目: @@
 こうして三次元ベクトル <math>\boldsymbol{p}</math> を別のベクトルに移す変換が得られた。
 == 回転 ==

Ptt: /* 3次元ベクトルによる表現 */

2024-07-14T17:25:03Z

3次元ベクトルによる表現

@@ 21行目: / 21行目: @@
 <math>q = a + \boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{i}</math>
 と表示できる。
 == 共役 ==

2024年7月13日 (土) 03:52にPttによる

2024-07-13T03:52:11Z

← 古い版		2024年7月13日 (土) 12:52時点における版
6行目:		6行目:

	積について非可換であることに注意する。		積について非可換であることに注意する。

			== 3次元ベクトルによる表現 ==
			<math>\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}
			x \\
			y \\
			z
			\end{bmatrix},
			\boldsymbol{i}=\begin{bmatrix}
			i \\
			j \\
			k
			\end{bmatrix}</math>
			のようにすれば、
			<math>q = a + \boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{i}</math>
			と表示できる。

	== 共役 ==		== 共役 ==

2024年7月10日 (水) 15:02にPttによる

2024-07-10T15:02:42Z

← 古い版		2024年7月11日 (木) 00:02時点における版
4行目:		4行目:

	ただし、<math>i^2=j^2=k^2=ijk=-1</math> である。		ただし、<math>i^2=j^2=k^2=ijk=-1</math> である。

			積について非可換であることに注意する。

			== 共役 ==
			<math>q = a + bi + cj + dk</math> に対し <math>q^* = a - bi - cj - dk</math> を考える。

			すると、

			<math>qq^=q^q=a^2+b^2+c^2+d^2
			</math>

			となる。

			特に、<math>\|\|q\|\|=1</math> のとき、<math>q^{-1}=q^*
			</math> である。

			== 回転 ==
			そのうち書きたい

			クォータニオンの積と内積・外積など

			z軸まわりの回転

			任意軸周りの回転


	[[カテゴリ:数学]]		[[カテゴリ:数学]]

Ptt: ページの作成:「四元数。実数 $a,b,c,d$ と虚数単位 $i,j,k$ を用いて $a + bi + cj + dk$ と表される。ただし、 $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$ である。カテゴリ:数学」

2024-07-09T14:20:17Z

ページの作成:「四元数。実数 <math>a,b,c,d</math> と虚数単位 <math>i,j,k</math> を用いて <math>a + bi + cj + dk</math> と表される。ただし、<math>i^2=j^2=k^2=ijk=-1</math> である。カテゴリ:数学」

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四元数。

実数 <math>a,b,c,d</math> と虚数単位 <math>i,j,k</math> を用いて <math>a + bi + cj + dk</math> と表される。

ただし、<math>i^2=j^2=k^2=ijk=-1</math> である。
[[カテゴリ:数学]]

クォータニオン - 版の履歴

Ptt: /* 回転 */

Ptt: /* 回転 */

Ptt: /* 回転 */

Ptt: /* 回転 */

Ptt: /* 3次元ベクトルによる表現 */

2024年7月14日 (日) 17:25にPttによる

Ptt: /* 3次元ベクトルによる表現 */

2024年7月13日 (土) 03:52にPttによる

2024年7月10日 (水) 15:02にPttによる

Ptt: ページの作成:「四元数。 実数 a,b,c,d と虚数単位 i,j,k を用いて a + bi + cj + dk と表される。 ただし、i^2=j^2=k^2=ijk=-1 である。 カテゴリ:数学」

Ptt: ページの作成:「四元数。実数 $a,b,c,d$ と虚数単位 $i,j,k$ を用いて $a + bi + cj + dk$ と表される。ただし、 $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$ である。カテゴリ:数学」