サンプリング定理 - 版の履歴

2025年7月26日 (土) 13:07にPttによる

2025-07-26T13:07:18Z

← 古い版		2025年7月26日 (土) 22:07時点における版
48行目:		48行目:

	この周波数をナイキスト周波数という。		この周波数をナイキスト周波数という。

			== DA変換 ==
			<math>X(\omega)</math> の帯域がナイキスト周波数未満の場合には、標本化された信号からアナログ信号を完全に復元できる。

			いまスペクトルは周期 <math>\frac{2\pi}{T}</math> 間隔で繰り返された状態になっているが、単に矩形窓をかけて1周期分のみ取り出せば <math>X(\omega)</math> が得られ、これを逆フーリエ変換すればもとの信号が得られる。

			ところで、周波数領域で矩形窓をかけて逆フーリエ変換するということは時間領域で矩形窓の逆フーリエ変換と標本化された信号を畳み込むのと同じである。
			その場合にはsinc関数を畳み込めばよい。

2025-07-26T12:58:42Z

← 古い版		2025年7月26日 (土) 21:58時点における版
31行目:		31行目:

	最後の行は[[くし型関数]]のフーリエ変換を用いた。		最後の行は[[くし型関数]]のフーリエ変換を用いた。

			== サンプリング定理 ==
			サンプリングされた信号のフーリエ変換はくし型関数との畳み込みになることがわかった。

			つまり <math>\frac{2\pi}{T}</math> 間隔で <math>X(\omega)</math> をずらしながら重ね合わせたスペクトルになるということである。

			<math>X(\omega)</math> をずらしたときに帯域が被っていなければ、本来のスペクトル <math>X(\omega)</math> を取り出すことができる。

			その条件は

			<math>\|\omega\| < \frac{1}{2} \frac{2\pi}{T}</math>

			すなわち

			<math>\|\omega\| < \frac{1}{2} f_s</math>　（<math>f_s</math> はサンプリング周波数）

			この周波数をナイキスト周波数という。

2025-07-26T12:10:28Z

← 古い版		2025年7月26日 (土) 21:10時点における版
10行目:		10行目:
	<math>		<math>
	\begin{eqnarray}		\begin{eqnarray}
	x_T(t) &=& ~~\int_{-\infty}^{\infty}~~ \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT) x(t) dt		x_T(t) &=& \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT) x(t)
	\\ &=& ~~\int_{-\infty}^{\infty}~~ \delta_T(t) x(t) dt		\\ &=& \delta_T(t) x(t)
	\end{eqnarray}		\end{eqnarray}
	</math>		</math>

	とすれば <math>t=nT</math> の点だけで値をもつ信号ができる。		とすれば <math>t=nT</math> の点だけで値をもつ信号ができる。

			== フーリエ変換 ==
			<math>
			\begin{eqnarray}
			&& \mathcal{F}[x_T(t)]
			\\ &=&
			\mathcal{F}[\delta_T(t) x(t)]
			\\ &=&
			\mathcal{F}[\delta_T(t)] * X(\omega)
			\\ &=&
			\frac{2\pi}{T} \delta_{\frac{2\pi}{T}}(\omega) * X(\omega)
			\end{eqnarray}
			</math>

			最後の行は[[くし型関数]]のフーリエ変換を用いた。

2025-07-25T15:49:58Z

← 古い版		2025年7月26日 (土) 00:49時点における版
8行目:		8行目:
	これを連続時間信号っぽく扱いたいなら、[[デルタ関数]]を用いて		これを連続時間信号っぽく扱いたいなら、[[デルタ関数]]を用いて

	<math>x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT) x(t)</math>		<math>
			\begin{eqnarray}
			x_T(t) &=& \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT) x(t) dt
			\\ &=& \int_{-\infty}^{\infty} \delta_T(t) x(t) dt
			\end{eqnarray}
			</math>

	とすれば <math>t=nT</math> の点だけで値をもつ信号ができる。		とすれば <math>t=nT</math> の点だけで値をもつ信号ができる。

2025-07-25T14:23:41Z

← 古い版	2025年7月25日 (金) 23:23時点における版
1行目:	1行目:
		== 標本化 ==
		入力信号 <math>x(t)</math> を連続時間信号として、サンプリング周期 <math>T</math> で標本化する。

		離散時間では

		<math>x[n] = x(nT)</math>

		これを連続時間信号っぽく扱いたいなら、[[デルタ関数]]を用いて

		<math>x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT) x(t)</math>

		とすれば <math>t=nT</math> の点だけで値をもつ信号ができる。

2025-07-25T14:03:08Z

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