「すごろくでnマス目に止まる確率」の版間の差分

提供:ペチラボ書庫
ナビゲーションに移動 検索に移動
(ページの作成:「1~6の目が等確率で出るサイコロを使ったすごろくで、nマス目に止まる確率を計算する。 この確率をP(n)とする。 == P(0) == スタート地点を0番目とし、P(0)=1とする。 == P(1) == 1回サイコロを振って1が出る確率であり、 P(1) = 1/6 == P(2) == 1回サイコロを振って2が出る、または2回連続で1が出る P(2) = 1/6 + 1/36 = 7/36 == P(3) == 1回で3が出る、2回で(1,2),(2,1)、3…」)
 
編集の要約なし
22行目: 22行目:


== P(4) ==
== P(4) ==
このあたりで、分母は6の累乗、分母は7の累乗になっていそうであることに気付く。
nマス目に到達するまでにサイコロを振る回数は、n回以下である。
n<=6のとき、
i回でちょうどnマス目に到達する場合の数は、n-1マスのうちサイコロを振るマスi-1個を選ぶという問題と考えることができ(1回目はスタートで振り、サイコロを振るのはn-1マス目以前である)、
<math>P(n) = \frac{1}{6} \sum_{i=1}^{n} {_{n-1} C _{i-1}} \left(\frac{1}{6}\right)^{i-1}
</math>
二項定理を使って、
P(n) = 1/6 * (1+1/6) ^ (n-1)
P(4) = 343/1296
P(4) = 343/1296
(1+1/6)^(n-1) * 1/6


== P(5) ==
== P(5) ==
33行目: 48行目:


== n>=7 ==
== n>=7 ==
6マス前から1マス前までの平均になる
最後に出る目が1~6である場合があり、それぞれ1/6の確率で遷移することを考えると、
 
P(n)はP(n-6)からP(n-1)までの平均になる。




P(6)が最大になる
P(1)からP(6)ではP(6)が最大値であり、それらの平均は最大値より大きくなることはないから、全てのマスの中で6番目のマスに止まる確率が最も大きい。

2024年5月26日 (日) 22:28時点における版

1~6の目が等確率で出るサイコロを使ったすごろくで、nマス目に止まる確率を計算する。

この確率をP(n)とする。

P(0)

スタート地点を0番目とし、P(0)=1とする。

P(1)

1回サイコロを振って1が出る確率であり、

P(1) = 1/6

P(2)

1回サイコロを振って2が出る、または2回連続で1が出る

P(2) = 1/6 + 1/36 = 7/36

P(3)

1回で3が出る、2回で(1,2),(2,1)、3回で(1,1,1)

P(3) = 1/6 + 2/36 + 1/216 = 49/216

P(4)

このあたりで、分母は6の累乗、分母は7の累乗になっていそうであることに気付く。

nマス目に到達するまでにサイコロを振る回数は、n回以下である。

n<=6のとき、

i回でちょうどnマス目に到達する場合の数は、n-1マスのうちサイコロを振るマスi-1個を選ぶという問題と考えることができ(1回目はスタートで振り、サイコロを振るのはn-1マス目以前である)、

[math]\displaystyle{ P(n) = \frac{1}{6} \sum_{i=1}^{n} {_{n-1} C _{i-1}} \left(\frac{1}{6}\right)^{i-1} }[/math]


二項定理を使って、

P(n) = 1/6 * (1+1/6) ^ (n-1)


P(4) = 343/1296

P(5)

P(5) = 2401/7776

P(6)

P(6) = 16807/46656

n>=7

最後に出る目が1~6である場合があり、それぞれ1/6の確率で遷移することを考えると、

P(n)はP(n-6)からP(n-1)までの平均になる。


P(1)からP(6)ではP(6)が最大値であり、それらの平均は最大値より大きくなることはないから、全てのマスの中で6番目のマスに止まる確率が最も大きい。