平均律

十二平均律

1オクターブを12等分して構成される音律。

基準となる周波数 [math]\displaystyle{ f }[/math] を決めると、使える音の周波数の集合は [math]\displaystyle{ F = \{ f \cdot 2^{\frac{k}{12}}| k \in \mathbb{Z} \} }[/math] である。

複素平均律

（これを考えることにどのくらい意味があるのかわかりませんが）

[math]\displaystyle{ 2^{\frac{k}{12}} }[/math] の部分を複素数に拡張することを考える。 といっても周波数成分の位相を考えるだけなので、

[math]\displaystyle{ F = \{ f \cdot 2^{\frac{k}{12}} e^{i\theta_k}| k \in \mathbb{Z} \} }[/math]

平均律の群

以下、[math]\displaystyle{ 2^{\frac{k}{12}} }[/math] のことを単に[math]\displaystyle{ k_f }[/math]と表記することにする。 [math]\displaystyle{ 0_f, 1_f, 2_f... }[/math]のように。

これらの数の集合は通常の掛け算による積（対数で見ると足し算による和）により群である。

この演算は [math]\displaystyle{ + }[/math] で表記し、逆元は [math]\displaystyle{ - }[/math] で表記することにする。

[math]\displaystyle{ 1_f }[/math] を半音、[math]\displaystyle{ 2_f }[/math] を全音と呼ぶ。