待ち行列理論

いわゆる待機列の理論

ケンドールの記号 - Wikipedia

入場待機列

列の伸び方について

単位時間あたり [math]\displaystyle{ \lambda(t) }[/math] 人が新たに列に並ぶとする。時刻[math]\displaystyle{ t }[/math]における列の長さを [math]\displaystyle{ L(t) }[/math] とする。

入場開始時刻（[math]\displaystyle{ t=0 }[/math]とする）より前は列が伸びる一方なので、 [math]\displaystyle{ L(t) = \int_{-\infty}^t\lambda(t)dt }[/math] である。

入場開始後、単位時間あたり [math]\displaystyle{ \mu }[/math] 人が入場できるとする。

このとき列の長さは

[math]\displaystyle{ L(t) = \int_{-\infty}^t\lambda(t)dt - \mu t }[/math]

になるはずである。

列が無くなる時刻について

[math]\displaystyle{ L(t) = 0 }[/math] になっていれば並びなしで入れるわけだから、これは重要。

簡単のため、[math]\displaystyle{ t=0 }[/math] より前に並んだ人数を [math]\displaystyle{ N }[/math] 人、その後は [math]\displaystyle{ \lambda(t) = \lambda }[/math]（一定）としてみると、

[math]\displaystyle{ L(t) = N + \lambda t - \mu t }[/math]

これが [math]\displaystyle{ 0 }[/math] になるのは

[math]\displaystyle{ t = \frac{N}{\mu - \lambda} }[/math]

時間に間に合うように並びたい

時刻 [math]\displaystyle{ t_1 }[/math] を目標に入場したい、というのはよくあるケースである。

この場合、自分の前に並んでいるのが（入場済みも含めて） [math]\displaystyle{ \mu t_1 }[/math] 人以下であればよい。

(i) 入場開始前の場合、

[math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^t\lambda(t)dt \lt \mu t_1 }[/math]

(ii) 入場開始後の場合、[math]\displaystyle{ t=0 }[/math] より前に並んだ人数を [math]\displaystyle{ N }[/math] 人、その後は [math]\displaystyle{ \lambda(t) = \lambda }[/math]（一定）としてみると、

[math]\displaystyle{ N + \lambda t \lt \mu t_1 }[/math]

したがって

[math]\displaystyle{ t \lt \frac{\mu t_1 - N}{\lambda} }[/math]

一定時間以上は待ちたくない

[math]\displaystyle{ T }[/math] より長い時間は待ちたくないとする。

その時点で前に居る人数が [math]\displaystyle{ \mu T }[/math]より少なければよいわけだから、

[math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^t\lambda(t)dt - \mu t \lt \mu T }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{\int_{-\infty}^t\lambda(t)dt}{\mu} - T \lt t }[/math]

実際に行われている方策

フォーク並び

全員が一列に並び、空いた所に入ることで、必ず先に並んだ人が先に利用することができる。

トイレでも基本的にこの方式がとられているが、男子トイレでは小便器の列と個室の列がわかれておらず、ややこしいことになっている事例がしばしばある。

実際の運用では窓口の稼働率を最大化するため、各窓口の直前に列が形成され、数人ずつ待たせることもある。

整理券

事前に整理券を発行し、番号順に入れる方法。

番号の呼び出し時間に到着すればよいため、待ち時間が短縮される。

番号が早ければ早く入場でき有利になる一方、ライブ等では入場後の待機時間が長くなる。

ファストチケット

追加料金を支払う、特定のサービスを選択するなどで、一般とは別の列で優先的にサービスを受ける権利を得る方法。

列形成中断

一時的に列形成を中断する方法。強制的ではあるが、列が長くなるのを防ぐことができる。