符号付き距離関数

Signed Distance Function の頭文字を取って SDF ともよく呼ばれる

定義

距離空間において、集合の境界のうち最も近い点との距離。符号は境界の内側か外側かで変わる。

符号の決め方はどちらでもよいが、このページでは普通の感覚に合わせて外側を正としておく

2Dの例

円

半径 [math]\displaystyle{ r }[/math] の円とは中心 [math]\displaystyle{ \boldsymbol{c} }[/math] からの距離が [math]\displaystyle{ r }[/math] の点の集合であることから、

[math]\displaystyle{ d = ||\boldsymbol{x} - \boldsymbol{c}|| - r }[/math]

正n角形

0番目の頂点がx軸に乗っている場合で考える。

このときSDFは次の手順で得られる。

• 何番目の辺が最も近いか考える（角度でわかる）
• その辺の法線ベクトルとの内積を用いて距離を計算する

まず、原点から点 [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math] に伸ばした半直線が[math]\displaystyle{ x }[/math]軸となす角は [math]\displaystyle{ \theta = \mathrm{Atan2}(y,x) }[/math]

これに一番近い辺は [math]\displaystyle{ k = \lfloor \theta / (2\pi / n) \rfloor }[/math] 番目である。

その辺の法線ベクトルは [math]\displaystyle{ v = \left( \cos\frac{2\pi(0.5+k)}{n},~ \sin\frac{2\pi(0.5+k)}{n} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ d = (x - tv) \cdot v }[/math]

ここで [math]\displaystyle{ t }[/math] は辺の中心と原点の距離である

3Dの例

球

円と同様。

[math]\displaystyle{ d = ||\boldsymbol{x} - \boldsymbol{c}|| - r }[/math]

テクニック

計算上のテクニックを書き残していきたい