「ラグランジュの未定乗数法」の版間の差分
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細かいことや細かくないことを飛ばしまくってると思います。すみません。 | |||
== 2変数関数の場合 == | |||
関数 <math>f(x,y)</math> について、<math>g(x,y)=0</math> 上での極値を探したい。 | |||
<math>g(x,y)=0</math>で動いたときに <math>f</math> の方向微分が0になることを考える。 | |||
<math>g(x,y)=0</math> の接線方向は <math>\left(\frac{\partial{g}}{\partial{y}} ~,~ -\frac{\partial{g}}{\partial{x}}\right)</math> | |||
であり、 | |||
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\frac{\partial{f}}{\partial{x}} \frac{\partial{g}}{\partial{y}} - \frac{\partial{f}}{\partial{y}} \frac{\partial{g}}{\partial{x}} = 0 | |||
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\frac{\partial{f}}{\partial{x}} - \frac{\frac{\partial{f}}{\partial{y}}}{\frac{\partial{g}}{\partial{y}}} \frac{\partial{g}}{\partial{x}} = 0 | |||
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<math>\frac{\frac{\partial{f}}{\partial{y}}}{\frac{\partial{g}}{\partial{y}}} = \lambda</math> として、 | |||
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\frac{\partial(f - \lambda g)}{\partial x} = 0 | |||
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<math>\frac{\frac{\partial{f}}{\partial{y}}}{\frac{\partial{g}}{\partial{y}}} = \lambda</math> としたことから | |||
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\frac{\partial(f - \lambda g)}{\partial y} = 0 | |||
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また、<math>g(x,y)=0</math> 上のため、 | |||
<math>\frac{\partial (\lambda g)}{\partial \lambda} = 0</math> | |||
2024年8月17日 (土) 00:03時点における最新版
細かいことや細かくないことを飛ばしまくってると思います。すみません。
2変数関数の場合
関数 [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] について、[math]\displaystyle{ g(x,y)=0 }[/math] 上での極値を探したい。
[math]\displaystyle{ g(x,y)=0 }[/math]で動いたときに [math]\displaystyle{ f }[/math] の方向微分が0になることを考える。
[math]\displaystyle{ g(x,y)=0 }[/math] の接線方向は [math]\displaystyle{ \left(\frac{\partial{g}}{\partial{y}} ~,~ -\frac{\partial{g}}{\partial{x}}\right) }[/math] であり、
[math]\displaystyle{ \frac{\partial{f}}{\partial{x}} \frac{\partial{g}}{\partial{y}} - \frac{\partial{f}}{\partial{y}} \frac{\partial{g}}{\partial{x}} = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{\partial{f}}{\partial{x}} - \frac{\frac{\partial{f}}{\partial{y}}}{\frac{\partial{g}}{\partial{y}}} \frac{\partial{g}}{\partial{x}} = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{\frac{\partial{f}}{\partial{y}}}{\frac{\partial{g}}{\partial{y}}} = \lambda }[/math] として、
[math]\displaystyle{ \frac{\partial(f - \lambda g)}{\partial x} = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{\frac{\partial{f}}{\partial{y}}}{\frac{\partial{g}}{\partial{y}}} = \lambda }[/math] としたことから
[math]\displaystyle{ \frac{\partial(f - \lambda g)}{\partial y} = 0 }[/math]
また、[math]\displaystyle{ g(x,y)=0 }[/math] 上のため、
[math]\displaystyle{ \frac{\partial (\lambda g)}{\partial \lambda} = 0 }[/math]