「離散フーリエ変換」の版間の差分
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N/2+1～N-1 番目は、<math>e^{i\frac{2\pi (N-k)}{N}} = e^{-i\frac{2\pi k}{N}}</math> であり、負の周波数成分と呼ばれる。実信号では<math>N-k</math>番目の値は<math>k</math>番目の複素共役になる。 | N/2+1～N-1 番目は、<math>e^{i\frac{2\pi (N-k)}{N}} = e^{-i\frac{2\pi k}{N}}</math> であり、負の周波数成分と呼ばれる。実信号では<math>N-k</math>番目の値は<math>k</math>番目の複素共役になる。 | ||
== 負の周波数成分 == | |||
たぶん複素正弦波のことを考える方が解釈しやすい気がする。 | |||
高速回転しているものをカメラでとらえると逆回転しているように見えるみたいなアレ | |||
2025年1月29日 (水) 23:09時点における最新版
離散フーリエ変換
[math]\displaystyle{ X[k] = \sum ^{N-1}_{n=0} x[n] e^{-i\frac{2\pi kn}{N}} }[/math]
逆変換
[math]\displaystyle{ x[n] = \frac{1}{N} \sum ^{N-1}_{k=0} X[k] e^{i\frac{2\pi kn}{N}} }[/math]
周波数成分の解釈
離散版でもやはり [math]\displaystyle{ X[k] }[/math] は [math]\displaystyle{ x[n] }[/math] を正弦波の和で表現する係数になっている。 [math]\displaystyle{ k }[/math] に対応する正弦波は [math]\displaystyle{ e^{i\frac{2\pi k}{N}} }[/math] 。
0番目は [math]\displaystyle{ e^0 = 1 }[/math] の係数であり、直流成分と呼ばれる。
N/2番目は ナイキスト周波数に対応する。[math]\displaystyle{ e^{i\pi n}=(-1)^n }[/math] の係数であり、確かにこれ以上の周波数はエイリアシングが生じそうである。
1～N/2-1 番目は後述の負の周波数成分に対して、正の周波数成分である。
N/2+1～N-1 番目は、[math]\displaystyle{ e^{i\frac{2\pi (N-k)}{N}} = e^{-i\frac{2\pi k}{N}} }[/math] であり、負の周波数成分と呼ばれる。実信号では[math]\displaystyle{ N-k }[/math]番目の値は[math]\displaystyle{ k }[/math]番目の複素共役になる。
負の周波数成分
たぶん複素正弦波のことを考える方が解釈しやすい気がする。 高速回転しているものをカメラでとらえると逆回転しているように見えるみたいなアレ