離散フーリエ変換

離散フーリエ変換

[math]\displaystyle{ X[k] = \sum ^{N-1}_{n=0} x[n] e^{-i\frac{2\pi kn}{N}} }[/math]

逆変換

[math]\displaystyle{ x[n] = \frac{1}{N} \sum ^{N-1}_{k=0} X[k] e^{i\frac{2\pi kn}{N}} }[/math]

周波数成分の解釈

離散版でもやはり [math]\displaystyle{ X[k] }[/math] は [math]\displaystyle{ x[n] }[/math] を正弦波の和で表現する係数になっている。 [math]\displaystyle{ k }[/math] に対応する正弦波は [math]\displaystyle{ e^{i\frac{2\pi k}{N}} }[/math] 。

0番目は [math]\displaystyle{ e^0 = 1 }[/math] の係数であり、直流成分と呼ばれる。

N/2番目は ナイキスト周波数に対応する。[math]\displaystyle{ e^{i\pi n}=(-1)^n }[/math] の係数であり、確かにこれ以上の周波数はエイリアシングが生じそうである。

1～N/2-1 番目は後述の負の周波数成分に対して、正の周波数成分である。

N/2+1～N-1 番目は、[math]\displaystyle{ e^{i\frac{2\pi (N-k)}{N}} = e^{-i\frac{2\pi k}{N}} }[/math] であり、負の周波数成分と呼ばれる。実信号では[math]\displaystyle{ N-k }[/math]番目の値は[math]\displaystyle{ k }[/math]番目の複素共役になる。