ポアソン分布

いつも一定確率で発生するかもしれない事象を考える。

単位時間を[math]\displaystyle{ n }[/math]等分すると、各区間で事象が発生するのかどうかにより二項分布を考えることができる。（[math]\displaystyle{ n }[/math]は十分大きく、各区間で2回発生することはない。）

各区間で事象が発生する確率を[math]\displaystyle{ p }[/math]として、

[math]\displaystyle{ P(X=k) = _nC_k ~ p^k (1-p)^{n-k} }[/math]

ここで平均[math]\displaystyle{ \lambda }[/math]回発生するとき、[math]\displaystyle{ p = \frac{\lambda}{n} }[/math]であり、

[math]\displaystyle{ \begin{eqnarray} P(X=k) &=& _nC_k ~ p^k (1-p)^{n-k} \\&=& \frac{n!}{k!(n-k)!} \left( \frac{\lambda}{n} \right)^k \left(1 - \frac{\lambda}{n} \right)^{n-k} \\&=& \frac{n!}{n^k(n-k)!} \frac{\lambda ^k}{k!} \left(1 - \frac{\lambda}{n} \right)^{n-k} \end{eqnarray} }[/math]

[math]\displaystyle{ n \to \infty }[/math] とすれば、

[math]\displaystyle{ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} }[/math]