サンプリング定理

標本化

入力信号 [math]\displaystyle{ x(t) }[/math] を連続時間信号として、サンプリング周期 [math]\displaystyle{ T }[/math] で標本化する。

離散時間では

[math]\displaystyle{ x[n] = x(nT) }[/math]

これを連続時間信号っぽく扱いたいなら、デルタ関数を用いて

[math]\displaystyle{ \begin{eqnarray} x_T(t) &=& \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT) x(t) \\ &=& \delta_T(t) x(t) \end{eqnarray} }[/math]

とすれば [math]\displaystyle{ t=nT }[/math] の点だけで値をもつ信号ができる。

フーリエ変換

[math]\displaystyle{ \begin{eqnarray} && \mathcal{F}[x_T(t)] \\ &=& \mathcal{F}[\delta_T(t) x(t)] \\ &=& \mathcal{F}[\delta_T(t)] * X(\omega) \\ &=& \frac{2\pi}{T} \delta_{\frac{2\pi}{T}}(\omega) * X(\omega) \end{eqnarray} }[/math]

最後の行はくし型関数のフーリエ変換を用いた。

サンプリング定理

サンプリングされた信号のフーリエ変換はくし型関数との畳み込みになることがわかった。

つまり [math]\displaystyle{ \frac{2\pi}{T} }[/math] 間隔で [math]\displaystyle{ X(\omega) }[/math] をずらしながら重ね合わせたスペクトルになるということである。

[math]\displaystyle{ X(\omega) }[/math] をずらしたときに帯域が被っていなければ、本来のスペクトル [math]\displaystyle{ X(\omega) }[/math] を取り出すことができる。

その条件は

[math]\displaystyle{ |\omega| \lt \frac{1}{2} \frac{2\pi}{T} }[/math]

すなわち

[math]\displaystyle{ |\omega| \lt \frac{1}{2} f_s }[/math]　（[math]\displaystyle{ f_s }[/math] はサンプリング周波数）

この周波数をナイキスト周波数という。

DA変換

[math]\displaystyle{ X(\omega) }[/math] の帯域がナイキスト周波数未満の場合には、標本化された信号からアナログ信号を完全に復元できる。

いまスペクトルは周期 [math]\displaystyle{ \frac{2\pi}{T} }[/math] 間隔で繰り返された状態になっているが、単に矩形窓をかけて1周期分のみ取り出せば [math]\displaystyle{ X(\omega) }[/math] が得られ、これを逆フーリエ変換すればもとの信号が得られる。

ところで、周波数領域で矩形窓をかけて逆フーリエ変換するということは時間領域で矩形窓の逆フーリエ変換と標本化された信号を畳み込むのと同じである。 その場合にはsinc関数を畳み込めばよい。