くし型関数

デルタ関数を一定間隔で並べたもの。

[math]\displaystyle{ \delta_T(t) = \sum_{n}\delta(t - nT) }[/math]

フーリエ級数展開

[math]\displaystyle{ \delta_T(t) }[/math] は周期 [math]\displaystyle{ T }[/math] として フーリエ級数展開 する

[math]\displaystyle{ \begin{eqnarray} c_n &=& \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \delta_T(t) e^{-i \frac{2\pi n}{T}t} dt \\ &=& \frac{1}{T} \end{eqnarray} }[/math]

したがって次のように級数展開される

[math]\displaystyle{ \begin{eqnarray} \delta_T(t) &=& \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{T} e^{i\frac{2\pi n}{T} t} \end{eqnarray} }[/math]

フーリエ変換

[math]\displaystyle{ \begin{eqnarray} \mathcal{F}[\delta_T(t)] &=& \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-nT) e^{-i\omega t}dt \\ &=& \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{-inT\omega} \end{eqnarray} }[/math]

ここでさっきのフーリエ級数展開と見比べると、

[math]\displaystyle{ \begin{eqnarray} \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{-inT\omega} &=& \frac{2\pi}{T} \delta_{\frac{2\pi}{T}}(-\omega) \end{eqnarray} }[/math]

[math]\displaystyle{ \delta_{\frac{2\pi}{T}}(-\omega) }[/math] は偶関数なので

[math]\displaystyle{ \begin{eqnarray} \mathcal{F}[\delta_T(t)] &=& \frac{2\pi}{T} \delta_{\frac{2\pi}{T}}(\omega) \end{eqnarray} }[/math]

こうして、くし型関数のフーリエ変換もまたくし型関数になるという結果が得られた。

[math]\displaystyle{ \frac{2\pi}{T} }[/math] というのは1周期で進む位相だと思えばいいんでしょうか。