「サンプリング定理」の版間の差分
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\begin{eqnarray} | \begin{eqnarray} | ||
x_T(t) &=& | x_T(t) &=& \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT) x(t) | ||
\\ &=& | \\ &=& \delta_T(t) x(t) | ||
\end{eqnarray} | \end{eqnarray} | ||
</math> | </math> | ||
とすれば <math>t=nT</math> の点だけで値をもつ信号ができる。 | とすれば <math>t=nT</math> の点だけで値をもつ信号ができる。 | ||
== フーリエ変換 == | |||
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\begin{eqnarray} | |||
&& \mathcal{F}[x_T(t)] | |||
\\ &=& | |||
\mathcal{F}[\delta_T(t) x(t)] | |||
\\ &=& | |||
\mathcal{F}[\delta_T(t)] * X(\omega) | |||
\\ &=& | |||
\frac{2\pi}{T} \delta_{\frac{2\pi}{T}}(\omega) * X(\omega) | |||
\end{eqnarray} | |||
</math> | |||
最後の行は[[くし型関数]]のフーリエ変換を用いた。 | |||
2025年7月26日 (土) 21:10時点における版
標本化
入力信号 [math]\displaystyle{ x(t) }[/math] を連続時間信号として、サンプリング周期 [math]\displaystyle{ T }[/math] で標本化する。
離散時間では
[math]\displaystyle{ x[n] = x(nT) }[/math]
これを連続時間信号っぽく扱いたいなら、デルタ関数を用いて
[math]\displaystyle{ \begin{eqnarray} x_T(t) &=& \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT) x(t) \\ &=& \delta_T(t) x(t) \end{eqnarray} }[/math]
とすれば [math]\displaystyle{ t=nT }[/math] の点だけで値をもつ信号ができる。
フーリエ変換
[math]\displaystyle{ \begin{eqnarray} && \mathcal{F}[x_T(t)] \\ &=& \mathcal{F}[\delta_T(t) x(t)] \\ &=& \mathcal{F}[\delta_T(t)] * X(\omega) \\ &=& \frac{2\pi}{T} \delta_{\frac{2\pi}{T}}(\omega) * X(\omega) \end{eqnarray} }[/math]
最後の行はくし型関数のフーリエ変換を用いた。