サンプリング定理

標本化

入力信号 [math]\displaystyle{ x(t) }[/math] を連続時間信号として、サンプリング周期 [math]\displaystyle{ T }[/math] で標本化する。

離散時間では

[math]\displaystyle{ x[n] = x(nT) }[/math]

これを連続時間信号っぽく扱いたいなら、デルタ関数を用いて

[math]\displaystyle{ \begin{eqnarray} x_T(t) &=& \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT) x(t) \\ &=& \delta_T(t) x(t) \end{eqnarray} }[/math]

とすれば [math]\displaystyle{ t=nT }[/math] の点だけで値をもつ信号ができる。

フーリエ変換

[math]\displaystyle{ \begin{eqnarray} && \mathcal{F}[x_T(t)] \\ &=& \mathcal{F}[\delta_T(t) x(t)] \\ &=& \mathcal{F}[\delta_T(t)] * X(\omega) \\ &=& \frac{2\pi}{T} \delta_{\frac{2\pi}{T}}(\omega) * X(\omega) \end{eqnarray} }[/math]

最後の行はくし型関数のフーリエ変換を用いた。